Физические величины и единицы в химии: измерения и расчёты

Число «25» само по себе ещё не результат химического измерения. Это могут быть граммы, миллилитры, градусы или проценты. Даже правильная единица не отвечает на все вопросы: что именно взвесили, при каких условиях измерили объём и насколько надёжен последний знак? Этот справочный практикум помогает проверить запись величины и связать её с химическим смыслом.

Основная часть — 8–9 классы: границы системы, наблюдение и объяснение, единицы, приставки, плотность, относительные и молярные величины. Для расчётов нужны дроби, степени десяти и понятие моля. Дополнительная часть — 10–11 классы и углубление: молярный объём разных фаз, переход от удельной теплоёмкости к молярной и проверка гипотез с учётом заданной погрешности. Определения веществ и способы расчёта молярной массы подробно изложены в связанных статьях; здесь они используются как инструменты.

Основная часть: что считается системой и что мы узнаём о веществе

Система — выбранная для изучения часть мира. Её границу задают до составления баланса: например, только жидкость, жидкость с паром или сосуд вместе со всем содержимым. Всё за выбранной границей относится к окружению.

Граница может быть стенкой сосуда или мысленной поверхностью. Открытая система обменивается с окружением веществом и энергией; закрытая не обменивается веществом, но может получать или отдавать энергию. Изолированная в идеальной модели не обменивается ни веществом, ни энергией. Поэтому закрытая крышка сама по себе не означает тепловой изоляции.

Систему описывают с разных сторон. Состав отвечает на вопросы «какие компоненты или частицы присутствуют?» и «в каких соотношениях?». Строение — как частицы связаны и расположены. Свойство — характеристика вещества или системы, которую можно наблюдать либо измерять при определённых условиях. Одинаковый элементный состав ещё не означает одинаковое строение: алмаз и графит состоят из углерода, но различаются расположением и связями атомов.

Наблюдение, расчёт и объяснение записывают отдельно. «Уровень жидкости уменьшился» — наблюдение. «Масса жидкой части стала меньше на 1,5 г» — вывод из двух взвешиваний. «Часть жидкости испарилась» — объяснение, которое нужно сопоставить с устройством системы и другими данными. Одно наблюдение не всегда определяет единственную причину. Подробнее об этом — в практикуме таблиц, графиков и выводов опыта.

Пример 1. Жидкость потеряла массу, а система — нет

В учебной модели герметичный сосуд вместе с жидкостью и паром имеет массу 84,50 г. Через некоторое время 1,50 г жидкости перешло в пар. Вещество через стенки не проходит; утечек нет. Изменение массы вследствие переноса энергии для школьной точности не учитываем.

Если система — только жидкая часть, её масса уменьшилась на 1,50 г: молекулы пересекли выбранную границу и оказались в паре. Если система — сосуд и всё содержимое, показание весов остаётся 84,50 г. Пар не исчез и по-прежнему входит во взвешиваемую систему. Уменьшение массы одной части не нарушает сохранение общей массы. Такой выбор границ нужен и в термохимии: нагревание сосуда и изменение энергии реагирующих веществ относятся к разным частям опыта.

Величина, численное значение и единица

Массу обозначают m, объём — V, количество вещества — n. Запись m = 12,4 г сообщает величину, её численное значение в выбранной единице и саму единицу. Для другого масштаба единицы число изменится, а масса останется той же:

12,4 г = 0,0124 кг.

Результат измерения относится к точно названному объекту и величине. Для его оценки нужны значение с единицей, условия и сведения о неопределённости. Количество знаков на экране прибора само по себе не показывает, насколько результат близок к действительному значению.

В международной системе единиц СИ основные единицы — метр (m), килограмм (kg), секунда (s), ампер (A), кельвин (K), моль (mol) и кандела (cd). Ниже в расчётах используются привычные русские обозначения: м, кг, с, А, К, моль, кд. Литр — внесистемная единица, допускаемая к применению вместе с СИ. Объём в СИ выражают в кубических метрах.

Между числом и обозначением единицы ставят пробел: 25 г, 298 К, 20 °C. Кельвин записывают без знака градуса. Международные символы чувствительны к регистру: K — кельвин, k — приставка «кило». Латинская M может обозначать молярную массу, а перед единицей — приставку «мега»; её смысл определяется записью.

Приставки и степени: почему кубический сантиметр — не сотая часть кубометра

Приставка относится к единице перед возведением в степень. Для площади коэффициент возводится в квадрат, для объёма — в куб:

1 см³ = (10⁻² м)³ = 10⁻⁶ м³.

1 л = 1 дм³ = 10⁻³ м³; 1 мл = 1 см³.

В единице плотности нужно преобразовать и числитель, и знаменатель:

1 г/см³ = (10⁻³ кг)/(10⁻⁶ м³) = 1000 кг/м³.

Частное правило для массы: приставки образуют от грамма, хотя основной единицей СИ является килограмм. Поэтому 1 мг — одна тысячная грамма и одна миллионная килограмма.

Пример 2. Проверяем перевод плотности

Для однородного образца по условию ρ = 1,20 г/см³, V = 25,0 см³. Первая запись позволяет сразу работать в граммах:

m = ρV = 1,20 г/см³ × 25,0 см³ = 30,0 г.

В согласованных единицах СИ получим тот же результат:

ρ = 1200 кг/м³; V = 25,0 × 10⁻⁶ м³;

m = 1200 × 25,0 × 10⁻⁶ кг = 0,0300 кг = 30,0 г.

Перевод единиц не изменил образец и не добавил точности. Проверка полезна: ошибка в кубе дала бы расхождение на несколько порядков.

Как проверять формулу по единицам и размерности

Размерность описывает тип величины через основные величины, а единица задаёт конкретный масштаб. У массы в граммах и килограммах одна размерность. У плотности — размерность массы, делённой на куб длины. Когда в школьной задаче сокращают г, мл и моль, выполняют проверку единиц; она помогает проверить и размерностную согласованность.

Например, из определения молярной массы следует:

M = m/n; n = m/M.

г / (г/моль) = моль.

Ошибочная формула n = mM дала бы г²/моль. Это не единица количества вещества. Складывать тоже можно только однородные величины в согласованных единицах: перед сложением 12 г и 0,020 кг нужно привести их к одной единице.

Проверка размерности — необходимый фильтр, но не доказательство формулы. Например, m/M и 2m/M имеют одну единицу; нужный коэффициент определяется содержанием задачи. Энергия и момент силы могут иметь одинаковую размерность, но это разные физические величины. Поэтому сначала устанавливают смысл связи, затем проверяют единицы.

Пример 3. Одна порция, разные записи величин

По условию масса чистого вещества 0,0800 кг, молярная масса 40,0 г/моль. Приведём массу к граммам и найдём количество вещества:

0,0800 кг = 80,0 г; n = 80,0 г / (40,0 г/моль) = 2,00 моль.

Если бы использовали M = 0,0400 кг/моль, ответ также был бы 2,00 моль. Подстановка 0,0800 и 40,0 без согласования единиц привела бы к ошибке в тысячу раз.

Отдельно различайте массу частицы, относительную массу и молярную массу. A_r и M_r — отношения масс, поэтому безразмерны. Записи M_r(CO₂) ≈ 44 и M(CO₂) ≈ 44 г/моль относятся к разным величинам. Совпадение численных значений при школьной точности не разрешает приписывать граммы к M_r.

Температура и изменение температуры

Для перевода показания по шкале Цельсия в термодинамическую температуру учитывают сдвиг нуля:

T/К = t/°C + 273,15.

Например, 20 °C соответствует 293,15 К. Но при нагревании от 20 до 25 °C изменение температуры равно 5 К — столько же численно, сколько 5 °C. При вычислении разности сдвиг 273,15 сокращается. К разности температур не прибавляют 273,15. В газовом законе нужна сама T в кельвинах; в формуле нагревания используется разность ΔT.

Дополнительно: величина на порцию, на грамм и на моль

Масса, объём и теплоёмкость порции зависят от того, сколько вещества взяли. У однородного вещества при одинаковых условиях удвоение размера порции удваивает эти величины. Плотность, удельная и молярная характеристики при таком изменении порции остаются прежними. При этом они могут зависеть от температуры, давления, фазы и состава.

Удельную величину в рассматриваемых здесь примерах получают делением характеристики порции на её массу. Молярную — делением на количество вещества. Для одной и той же характеристики чистого вещества переход от значения «на грамм» к значению «на моль» выполняют умножением на молярную массу с согласованными единицами.

Это не правило умножать на M любую встреченную величину. Нужно проверить определения числителя и знаменателя. Для смеси нельзя подставлять молярную массу одного компонента вместо характеристики всей смеси.

В этой статье c_p обозначает удельную теплоёмкость, а не концентрацию раствора. Индекс p означает постоянное давление. У теплоёмкости порции единица Дж/К, у удельной — Дж/(г·К) или Дж/(кг·К), у молярной — Дж/(моль·К). Сравнивать числа без знаменателей нельзя.

Пример 4. Молярный объём существует и у твёрдого вещества

Для условного чистого твёрдого вещества в задаче заданы M = 60,0 г/моль и ρ = 2,40 г/см³ при одной температуре и давлении. Выведем формулу через определения, не через газовый закон:

V_m = V/n = (m/ρ)/(m/M) = M/ρ.

V_m = (60,0 г/моль)/(2,40 г/см³) = 25,0 см³/моль = 0,0250 л/моль.

Один моль этого вещества занимает 25,0 см³ при заданных условиях. Для жидкости расчёт устроен так же: если по условию M = 80,0 г/моль и ρ = 1,00 г/см³, то V_m = 80,0 см³/моль. Для газа с M = 32,0 г/моль и заданной плотностью 1,28 г/л получаем V_m = 25,0 л/моль при условиях измерения этой плотности. Здесь вещества и данные условные; значения не являются справочными константами конкретных материалов.

Равенство V_m = M/ρ применимо к чистому веществу в выбранной фазе, если все величины относятся к одному состоянию. Число 22,4 л/моль связано с определёнными температурой и давлением идеального газа, а не с любым веществом. Его условия и газовое приближение разобраны в законе Авогадро.

Пример 5. Из Дж/(г·К) в Дж/(моль·К)

Для учебного расчёта нагревания жидкой воды при постоянном давлении заданы c_p = 4,18 Дж/(г·К) и M = 18,0 г/моль. В рассматриваемом небольшом температурном интервале c_p считаем постоянной. Найдём молярную теплоёмкость:

C_p,m = c_pM = 4,18 Дж/(г·К) × 18,0 г/моль = 75,24 Дж/(моль·К) ≈ 75,2 Дж/(моль·К).

Проверка единиц показывает, почему нужно умножение: граммы сокращаются, а в знаменателе остаются моль и кельвин. Один моль в этой модели имеет массу 18,0 г; его нагревание на 1 К требует примерно в 18 раз больше теплоты, чем нагревание одного грамма. Чтобы вернуться к удельной теплоёмкости, делят C_p,m на M.

При нагревании без реакции и фазового перехода, при постоянном давлении, отсутствии иной работы кроме расширения и постоянной теплоёмкости:

q = mc_pΔT = nC_p,mΔT.

При заметной зависимости теплоёмкости от температуры требуется её изменение учитывать; при плавлении, испарении или реакции одного этого выражения недостаточно. Теплота нагревания и тепловой эффект химической реакции — разные вклады.

Точность, погрешность и честное округление

Близость повторных показаний друг к другу характеризует повторяемость, но не гарантирует близости к действительному значению. Неверно настроенные весы могут каждый раз давать почти одинаковое смещённое показание. Цена деления и число цифр на дисплее — лишь часть сведений о качестве измерения: важны также калибровка, метод, состояние образца и внешние условия.

Погрешность в метрологии — разность измеренного и опорного значения; если истинное значение неизвестно, точно знать эту разность обычно нельзя. Неопределённость описывает, насколько широкий набор значений обоснован имеющимися сведениями. Эти термины не тождественны. В школьной задаче могут явно задать границу возможного отклонения; ниже используем именно такую упрощённую модель.

Запись m = (20,0 ± 0,1) г в наших задачах означает по условию, что допустимы значения от 19,9 до 20,1 г. Она не сообщает, что действительное значение обязательно равно 20,0 г или что отклонение всегда составляет ровно 0,1 г. В реальном отчёте дополнительно объясняют смысл ±: это может быть, например, расширенная неопределённость с указанной вероятностью охвата; такие статистические вычисления здесь не требуются.

Относительную заданную границу удобно оценить делением абсолютной границы на модуль указанного значения. Для этой массы:

0,1/20,0 × 100% = 0,5%.

Точный перевод 1 л = 1000 мл не добавляет измерительной погрешности. Округлённое справочное значение плотности — другое дело. При промежуточных вычислениях сохраняйте несколько запасных цифр; округляйте окончательный ответ в соответствии с исходными данными. Если неопределённость задана явно, ориентируйтесь на неё. Например, результат порядка (12,4 ± 0,2) г нельзя обоснованно превратить в (12,400000 ± 0,200000) г ради длинной записи.

Когда в обычной учебной задаче погрешности не заданы, используют приближённые правила значащих цифр: в произведении или частном не оставляют больше значащих цифр, чем обосновано наименее точной исходной величиной; в сумме ориентируются на наименее точный десятичный разряд. Например, 12,40 г + 2,3 г дают 14,7 г, а не 14,70 г. Это способ записи приближённого ответа, а не полноценный расчёт неопределённости.

Пример 6. Можно ли выбрать вещество по измеренной плотности?

Для неизвестного однородного образца получены m = (20,0 ± 0,1) г и V = (8,00 ± 0,20) см³. В этой учебной модели ± задаёт границы возможного отклонения; любые сочетания массы и объёма внутри них допустимы. Температура и давление согласованы, пор и полостей нет. Сравнивают две гипотезы: плотность материала A равна 2,50 г/см³, материала B — 2,56 г/см³. Значения гипотез считаем заданными без дополнительной погрешности.

По центральным значениям плотность равна 20,0/8,00 = 2,50 г/см³. Но делением только центральных значений анализ не заканчивается. При положительных m и V наименьшая плотность получается из наименьшей массы и наибольшего объёма; наибольшая — наоборот:

ρ_min = 19,9/8,20 ≈ 2,427 г/см³;

ρ_max = 20,1/7,80 ≈ 2,577 г/см³.

Обе гипотезы совместимы с данными: 2,50 и 2,56 лежат внутри допустимого диапазона. Близость центрального результата к A не доказывает выбор. Для различения нужны более точные измерения или независимый признак. Если сравнивались бы не два заданных материала, а любые вещества, даже исключение B не доказывало бы химический состав и строение A.

Метод крайних значений здесь подходит для заданных границ и монотонного отношения положительных величин. Его нельзя без оговорки подменять статистическими формулами сложения неопределённостей: у них другие исходные предположения.

Алгоритм проверки расчёта

1. Назовите систему, компонент или частицы и искомую величину.
2. Отделите наблюдения от модели и проверьте условия: фазу, температуру, давление, обмен веществом, отсутствие или наличие реакции.
3. Запишите определения, из которых следует формула. Не выбирайте действие только потому, что «все числа ещё не использованы».
4. Согласуйте единицы; отдельно проверьте степени и знаменатели.
5. Сохраните промежуточные цифры, затем оцените допустимую точность и физический смысл ответа.
6. Если делаете вывод о веществе, проверьте, исключают ли данные другие объяснения.

Самопроверка: десять собственных задач

Задачи 1–5 — основная часть; 6–10 — дополнительная. Численные данные составлены для обучения, а не получены в опыте автора. В задачах без явных границ погрешности используйте указанную учебную точность. Все плотности и теплоёмкости относятся к условиям соответствующей задачи.

1. В герметичной колбе находятся раствор и пар над ним. Колба охлаждается в комнате; часть пара превращается в жидкость. Сравните две системы: а) колба со всем содержимым; б) только жидкая часть. Какая система закрыта по веществу? Можно ли назвать систему а) изолированной? Что относится к наблюдению, а что к объяснению в записях «на стенках появились капли» и «пар сконденсировался»?

2. Переведите 0,0350 л в см³ и м³, а 6,20 мг — в граммы и килограммы. Сколько значащих цифр следует сохранить в этих записях, если исходные числа измерены с указанной точностью?

3. Для однородной жидкости заданы ρ = 1,25 г/см³ и V = 2,00 л. Найдите массу в килограммах двумя способами: через граммы и в согласованных единицах СИ.

4. Исправьте ошибки ученика: «A_r(O) ≈ 16 г; M_r(CO₂) ≈ 44 г/моль; M(CO₂) ≈ 44; количество вещества n = mM». Для исправленной формулы n покажите сокращение единиц, если m дано в граммах, M — в г/моль.

5. Образец нагрели от 18,0 до 23,0 °C. Найдите начальную и конечную температуру в кельвинах и изменение температуры. Для самой температуры сохраните точность до десятых кельвина. Объясните, почему к разности нельзя прибавлять 273,15.

6. Для чистого кристаллического NaCl по условию M = 58,5 г/моль и ρ = 2,16 г/см³. Вычислите молярный объём и объём порции 0,200 моль. Почему использование 22,4 л/моль было бы неверным?

7. Для чистого условного вещества заданы M = 60,0 г/моль и молярная теплоёмкость при постоянном давлении C_p,m = 36,0 Дж/(моль·К). Найдите удельную теплоёмкость в Дж/(г·К) и Дж/(кг·К). Какое количество теплоты получит порция 30,0 г при нагревании на 10,0 К? Фазы и состав не меняются, теплоёмкость постоянна, иной работы кроме расширения нет.

8. В идеальной учебной модели смешали 20 г воды при 80 °C и 80 г воды при 20 °C. Удельную теплоёмкость воды считают одинаковой и постоянной, теплообменом с окружением и сосудом пренебрегают, испарения нет. Какова конечная температура? Почему это не среднее арифметическое двух температур? Можно ли просто складывать температуры или автоматически складывать объёмы любых двух растворов?

9. Для тех же двух гипотез A и B из примера 6 улучшили измерения: m = (20,00 ± 0,02) г, V = (8,00 ± 0,01) см³. Остальные допущения сохранены, ± снова задаёт границы возможного отклонения. Найдите диапазон плотности и определите, какую гипотезу можно исключить. Доказывает ли оставшаяся гипотеза строение вещества?

10. При трёх взвешиваниях контрольного образца получены 9,82; 9,83 и 9,82 г. Его опорная масса — 10,00 г; её неопределённостью для этого задания пренебрегают. Достаточно ли близости трёх показаний, чтобы считать весы правильно настроенными? Оцените погрешность среднего показания относительно опорного значения. Можно ли устранить выявленную проблему только увеличением числа повторов?

Ответы с развёрнутыми объяснениями

1. Система а) не обменивается веществом с комнатой, поэтому закрыта по веществу. Она отдаёт энергию, поскольку охлаждается, и изолированной не является. В систему б) молекулы переходят из пара: её граница проницаема для вещества, масса жидкой части растёт. Капли на стенках — наблюдение; конденсация — объяснение, согласованное с охлаждением. Состав и агрегатное распределение системы нужно описывать раздельно: изменение количества жидкости не означает образования нового химического вещества.

2. Переводы основаны на точных соотношениях единиц:

   0,0350 л = 35,0 см³ = 3,50 × 10⁻⁵ м³;

   6,20 мг = 0,00620 г = 6,20 × 10⁻⁶ кг.

   В каждом исходном значении три значащие цифры; их сохраняют. Нули перед первой ненулевой цифрой задают положение десятичной запятой, а конечный ноль в 6,20 отражает указанную точность. Перевод единиц не создаёт новых измерительных данных.

3. В 2,00 л содержится 2000 см³. Поэтому масса равна 1,25 × 2000 = 2500 г, то есть 2,50 кг. Проверим в СИ:

   ρ = 1250 кг/м³; V = 2,00 × 10⁻³ м³;

   m = 1250 × 2,00 × 10⁻³ = 2,50 кг.

   Оба способа дают одну массу. Запись 2,50 кг сохраняет три значащие цифры исходных данных; числовые множители 1000 при переводе точные.

4. Верные записи при данных школьных округлениях: A_r(O) ≈ 16; M_r(CO₂) ≈ 44; M(CO₂) ≈ 44 г/моль. Первые две величины безразмерны. Количество вещества находят делением:

   n = m/M; г/(г/моль) = моль.

   В произведении mM единица была бы г²/моль, что сразу выявляет ошибку. Расчёт молярной массы по химической формуле — отдельный навык; его подробно разбирает соответствующая статья.

5. Прибавляем 273,15 к числам для самих температур, затем округляем до десятых:

   T₁ = 291,15 К ≈ 291,2 К; T₂ = 296,15 К ≈ 296,2 К;

   ΔT = 296,15 − 291,15 = 5,0 К.

   Разность лучше вычислять до окончательного округления. Одинаковый сдвиг нуля вычитается; один температурный шаг в 1 °C имеет ту же величину, что шаг в 1 К. Прибавление 273,15 к 5,0 дало бы температуру вместо изменения температуры.

6. Используем определения для данного твёрдого вещества:

   V_m = M/ρ = 58,5/2,16 ≈ 27,1 см³/моль;

   V = nV_m = 0,200 × (58,5/2,16) ≈ 5,42 см³.

   Второй расчёт выполнен с неокруглённым частным. NaCl здесь — кристалл, а не идеальный газ; табличное газовое значение неприменимо. Для NaCl речь идёт о молях формульных единиц, а не об отдельных молекулах в кристалле.

7. Переход к удельной характеристике требует деления на массу одного моля:

   c_p = C_p,m/M = 36,0/60,0 = 0,600 Дж/(г·К) = 600 Дж/(кг·К).

   В последней записи сохраняется смысл 0,600: при необходимости число можно записать как 6,00 × 10². Масса порции не изменяет удельную теплоёмкость, но изменяет количество требуемой теплоты:

   q = 30,0 г × 0,600 Дж/(г·К) × 10,0 К = 1,80 × 10² Дж.

   Независимая проверка: n = 30,0/60,0 = 0,500 моль; произведение 0,500 × 36,0 × 10,0 также равно 180 Дж.

8. Температуру находим из сохранения энергии, а не из сложения показаний термометра. Тёплая порция отдаёт столько теплоты, сколько получает холодная:

   20c_p(80 − t_кон) = 80c_p(t_кон − 20).

   Общая удельная теплоёмкость сокращается:

   t_кон = (20 × 80 + 80 × 20)/(20 + 80) = 32 °C.

   Большая холодная порция сильнее влияет на результат. Среднее арифметическое 50 °C получилось бы для равных масс при тех же допущениях. Температура не является аддитивной величиной: две порции при 20 °C не дают 40 °C. Массы замкнутой системы складываются, но объёмы разных растворов при смешивании могут изменяться; без условия об аддитивности или данных о конечной плотности их сумму нельзя принимать за конечный объём.

9. Снова находим крайние значения отношения положительных величин:

   ρ_min = 19,98/8,01 ≈ 2,4944 г/см³;

   ρ_max = 20,02/7,99 ≈ 2,5056 г/см³.

   Значение A, равное 2,50 г/см³, совместимо с диапазоном; B с плотностью 2,56 г/см³ — нет. Теперь среди двух заданных гипотез остаётся A. Это условный вывод в рамках поставленного выбора. Плотность сама по себе не определяет уникальное химическое строение и не исключает все неизвестные нам материалы.

10. Показания хорошо повторяются, но лежат ниже опорной массы. Среднее равно:

    m_ср = (9,82 + 9,83 + 9,82)/3 ≈ 9,8233 г.

    Оценка погрешности среднего показания относительно заданного опорного значения:

    m_ср − m_опор ≈ −0,177 г, то есть около −0,18 г.

    Знак минус показывает занижение. Много повторов могут лучше оценить случайный разброс, но сами по себе не исправляют систематическое смещение. Нужно проверить метод, тарирование и калибровку. По трём числам нельзя установить единственную техническую причину неисправности.

Связанные темы и проверка определений

Для понимания объектов повторите предмет химии, свойства веществ и соединения и смеси. Для расчётов нужны молярная масса, молярный объём газа и тепловой эффект. Работа с реальными выводами продолжается в практикуме экспериментальных данных.

Первичные источники единиц и обозначений: BIPM, Международная система единиц, 9-е издание с обновлениями. Определения удельных и молярных величин: IUPAC, molar и specific heat capacity. Различие погрешности и неопределённости: JCGM, measurement error и measurement uncertainty. Учебная последовательность сопоставлена с главой 5 С. Т. Жукова; правила записи результатов — с OpenStax Chemistry 2e, измерения и значащие цифры; тепловые балансы — с разделом о калориметрии. Все условия задач, объяснения и ответы на этой странице составлены для ChemistryInfo.

Выбрать другой маршрут курса