Газовые смеси: доли, средняя молярная масса и плотность

Расчётный практикум 8–9; многокомпонентные и влажные смеси — углубление 10–11. После единиц и условий измерения важно различать количество вещества, массу и объём. Все количества ниже заданы для идеальных газов без неуказанных реакций; учебные молярные массы приведены прямо в условиях.

Три доли отвечают на три вопроса

Мольная доля компонента x_i = n_i/n_общ, массовая доля w_i = m_i/m_общ. Все доли безразмерны. Сначала нужно назвать компоненты: мольная доля молекул воды не равна доле атомов водорода.

Суммы всех x_i и всех w_i по одному полному перечню компонентов равны 1. Проценты — те же доли, умноженные на 100. Если состав не нормирован, проверьте пропущенный компонент, примеси и основание пересчёта: сухую смесь или смесь с паром.

Для идеальных газов объём компонента V_i означает объём, который его n_i занимал бы отдельно при тех же T и p, что вся смесь. Это не отдельный пространственный отсек внутри смеси. Тогда:

V_i = n_iRT/p; φ_i = V_i/V_общ = x_i; p_i = x_ip_общ.

Вся смесь занимает общий объём; каждый газ распределён в нём. Равенство объёмной и мольной долей относится к данной модели и согласованным T,p. Для жидких смесей простое сложение исходных объёмов не гарантировано. Например, заданные 100 г воды и 50 г второй жидкости сохранят 150 г при смешивании без потерь, но объём результата следует находить по его плотности, а не по обещанию аддитивности.

Средняя молярная масса

Делим суммарную массу на суммарное количество молекулярных компонентов:

M̄ = m_общ/n_общ = Σx_iM_i; w_i = x_iM_i/M̄.

Обратный пересчёт из массовых долей:

x_i = (w_i/M_i)/Σ(w_j/M_j).

Средняя молярная масса лежит между наименьшей и наибольшей M_i при неотрицательных долях. Среднее арифметическое M₁ и M₂ подходит только при равных количествах вещества; равные массы или равные объёмы при разных условиях этого не обеспечивают.

Разбор 1. Неон и азот

Смесь содержит 0,300 моль Ne и 0,700 моль N₂. Примем M(Ne)=20,0 г/моль, M(N₂)=28,0 г/моль. Всего 1,000 моль; мольные и объёмные доли 0,300 и 0,700. Массы 6,00 и 19,60 г:

M̄ = 0,300·20,0 + 0,700·28,0 = 25,6 г/моль; w(Ne)=6,00/25,60=0,234375.

Итак, по молекулам Ne составляет 30,0%, а по массе — примерно 23,4%. При общем давлении 200 кПа парциальные давления равны 60,0 и 140,0 кПа; сумма 200 кПа. Для частиц моноатомного Ne слово «молекулы» в общем подсчёте заменяем на «частицы компонентов».

Относительная плотность и эталон

Относительная плотность — отношение двух плотностей при названных условиях и в согласованных единицах. Она безразмерна. Для идеальных газов при одинаковых T,p отношение равно отношению молярных масс.

ρ = pM/(RT); D_эталон = ρ_смеси/ρ_{эталона} = M̄/M_{эталона}.

При разных T или p множители уже не сокращаются: ρ₁/ρ₂ = p₁M₁T₂/(p₂M₂T₁) для идеальных газов. Для реальных газов может понадобиться коэффициент сжимаемости. Плотность воздуха зависит и от состава/влажности; школьные 29 г/моль нужно назвать приближением для сухого воздуха, а не точной константой.

Разбор 2. Обратный состав и достаточность данных

Известно, что сухая идеальная смесь содержит только N₂ и CO₂; при одинаковых T,p её относительная плотность по He равна 8,00. Используем M(He)=4,00, M(N₂)=28,0, M(CO₂)=44,0 г/моль. Тогда M̄=32,0 г/моль. Пусть x — доля CO₂:

44x + 28(1−x)=32; x=0,250; x(N₂)=0,750.

Решение единственно благодаря известным двум компонентам и разным молярным массам. Если компоненты неизвестны, число 32,0 само по себе не задаёт формулу вещества. Если перечислены три компонента, одно среднее обычно тоже не определяет все доли. Например, M̄=28,0 подходит и чистому N₂, и смеси Ne/CO₂ с долями 2/3 и 1/3 при указанных массах 20 и 44. Это разные допустимые составы.

Влажный газ: сначала отделяем пар

Объём газа, собранного с водяным паром, относится к обоим компонентам. Для идеализированной смеси:

p_сух = p_общ − p(H₂O); n_сух = p_сухV/(RT).

Давление насыщенного пара применяют только при подтверждённом равновесии с жидкой водой при нужной температуре. Иначе требуется действительное парциальное давление пара. Нельзя вычитать произвольное табличное число из условий другой температуры.

Разбор 3. Что меняется после удаления воды

В условной модели при 300 К газ имеет V=12,0 л, p_общ=100,0 кПа и заданное действительное p(H₂O)=2,40 кПа. Сухой компонент не реагирует и не растворяется. Используем R=8,314 кПа·л/(моль·К):

n_сух = 97,60·12,0/(8,314·300) ≈ 0,470 моль.

Если полностью удалить только воду, а сухой газ привести к прежним 300 К и 100,0 кПа, его объём составит 12,0·97,60/100,0=11,712 л, примерно 11,7 л. Если газ вместо этого остаётся в том же жёстком сосуде при 300 К, меняется давление, а не объём: оно становится 97,60 кПа. Ни один вариант не является скрытым правилом для любого осушителя.

После поглощения компонента меняется знаменатель

Разбор 4. Селективное удаление CO₂

Исходно 12,0 л сухой смеси N₂/CO₂ содержат 40,0% CO₂ по объёму. По условию удалён весь CO₂ и только он; измеряют снова сухой газ при прежних T,p. Исходные эквивалентные объёмы 4,80 л CO₂ и 7,20 л N₂. Остаток 7,20 л состоит только из N₂:

x'(N₂) = 0,600/(1−0,400) = 1.

Количество азота сохранилось, а его доля выросла от 0,600 до 1,000, потому что сократилось общее количество газовых частиц. При фиксированном сосуде и той же температуре давление остатка стало бы 0,600 исходного. В реальном поглощении нужно также проверить растворение других газов, поступление пара, полноту реакции и утечки; они исключены именно данным условием.

Жидкость по воде: без единиц, но с условиями

Разбор 5. Два разных температурных основания

Для учебного расчёта заданы плотности неизвестной жидкости при 20°C:1,125 г/мл, воды при 20°C:0,998 г/мл и воды при 4°C:1,000 г/мл. Это округлённые исходные данные задачи, а не таблица точных значений:

d(20/20) = 1,125/0,998 ≈ 1,127; d(20/4) = 1,125/1,000 = 1,125.

Различие объясняется эталоном. Запись «плотность 1,125» без единиц могла обозначать относительную плотность либо быть неполной записью обычной. Для перевода в г/мл нужны название эталона и условия. Нельзя считать плотность воды точно 1 г/мл при любой температуре или складывать объёмы жидкостей по одному d.

Восемь задач для проверки

1. Идеальная смесь содержит 0,200 моль He и 0,300 моль N₂. При M=4 и 28 г/моль найдите x, M̄, w(He). Давление смеси 150 кПа: каково p(He)?
2. Смесь He/N₂ имеет равные массы компонентов. Найдите мольные доли при тех же M. Равны ли объёмные доли половине при одинаковых T,p?
3. Смесь только N₂/CO₂ имеет M̄=36 г/моль. Найдите обе доли при M=28 и 44; проверьте сумму и границы.
4. Для 15,0 л сухой идеальной смеси полностью удалили только один компонент, который составлял 20,0% молей. Найдите объём сухого остатка при прежних T,p и долю оставшегося компонента, если исходных газов было ровно два.
5. В модели 10,0 л газа при 300 К и 100 кПа содержат пар с p=3,00 кПа. Найдите n сухого газа при R=8,314 и объём после полного удаления только пара при тех же T,p.
6. Известна только M̄=28 для возможных Ne/N₂/CO₂. Приведите два допустимых состава из разбора 2. Какое дополнительное независимое измерение могло бы различить именно эти две гипотезы?
7. Сравнили плотности одного и того же идеального газа при одинаковом давлении, но 300 и 360 К. Чему равно ρ₃₀₀/ρ₃₆₀? Можно ли назвать его отношением двух молярных масс?
8. Без потерь смешали 80 г и 40 г двух жидкостей. Плотность готовой смеси по условию 0,960 г/мл при 25°C. Найдите объём. Хватило бы знания только исходных двух плотностей без плотности смеси или других данных о смешивании?

Ответы с проверкой

1. Всего 0,500 моль; x(He)=0,400, x(N₂)=0,600. M̄=0,4·4+0,6·28=18,4 г/моль. Масса He0,800 г, общая 9,200 г; w(He)=0,800/9,200≈0,08696, или 8,70%. p(He)=0,400·150=60,0 кПа. Мольные и массовые доли не перепутаны.
2. Для равных масс отношения n:1/4 к 1/28, то есть 7:1. x(He)=7/8=0,875, x(N₂)=1/8=0,125; таковы же объёмные доли в заданной идеальной модели, а не 0,5.
3. 44x+28(1−x)=36, x(CO₂)=0,500, x(N₂)=0,500. Сумма 1; среднее 36 находится между 28 и 44. Равные молярные доли здесь не означают равных масс.
4. 15,0·0,800=12,0 л; оставшийся компонент имеет долю 1. Для трёх исходных компонентов доля каждого оставшегося потребовала бы их исходного соотношения.
5. p сухого 97,0 кПа, n=97,0·10,0/(8,314·300)≈0,389 моль. После приведения сухого остатка к прежним T,p:V=9,70 л. При сохранении жёсткого объёма вместо этого понизилось бы давление.
6. Чистый N₂ и 2/3Ne+1/3CO₂. Для этих двух гипотез специфическое измерение количества CO₂ с известными помехами и полнотой различило бы нулевую и ненулевую долю. Повторное измерение той же средней массы само по себе не создаёт нового независимого уравнения.
7. ρ обратно пропорциональна T, поэтому отношение 360/300=1,20. Молярная масса одного газа не изменилась; T были разными и не сократились. Это не относительная плотность, измеренная при согласованных T,p для определения разных M.
8. m=120 г; V=120/0,960=125 мл при 25°C. Только исходных плотностей вообще недостаточно: объём смешения может быть ненулевым. Аддитивность должна быть задана и обоснована отдельно.

Связанные темы и источники

Примените эти доли к смесям и избытку и концентрации. Не смешивайте M̄ смеси, молекулярную формулу чистого вещества и относительную массу частицы.

Понятия долей: IUPAC; относительная плотность: IUPAC; газовые смеси и парциальные давления: OpenStax. Темы сверены с §5.7–5.8 курса МГУ; свойства воды и зависимость от условий: NIST. Все условия, числа, разборы и контрольные вопросы на этой странице составлены самостоятельно.